根据两个数的差与立方差找数

输入两个数的差与立方差,快速计算这两个数。

根据两个数的差与立方差计算

结果

如何根据两个数的差与立方差计算

假设两个数为 \( x \) 和 \( y \),已知它们的差 \( D \) 和立方差 \( \Delta C \)。

  1. 表达式如下: \( x - y = D \quad \text{和} \quad x^3 - y^3 = \Delta C \)
  2. 利用差的立方公式: \( (x - y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3 \)
  3. 化简公式: \( (x - y)^3 = x^3 - y^3 - 3xy(x - y) \)
  4. 将已知条件两个数的差与立方差代入,求 \( xy \) 的值: \( D^3 = \Delta C - 3xy \cdot D \) \( xy = \frac{\Delta C - D^3 }{3D} \)
  5. 接下来,利用差积公式,用二次方程表示 \( x \) 和 \( y \): \( y^2 + (x - y)y - xy = 0 \)
  6. 使用求根公式求解 \( y \): \( y = \frac{-D \pm \sqrt{D^2 + 4 \cdot P}}{2} \)
  7. 解得 \( y \) 后,计算 \( x \): \( x = y + D \)

示例

例子 1:已知两个数的差为 5,立方差为 335,这两个数分别是多少?

解答:

1. 计算 \( xy \):

\( xy = \frac{335 - 5^3}{3 \cdot 5} = 14 \)

2. 代入二次方程:

\( y^2 + 5y - 14 = 0 \)

3. 计算判别式:

\( \sqrt{5^2 + 4 \cdot 14} = \sqrt{25 + 56} = \sqrt{81} = 9 \)

4. 求 \( y \):

\( y_1 = \frac{-5 + 9}{2} = 2 \)

\( y_2 = \frac{-5 - 9}{2} = -7 \)

5. 计算 \( x \):

\( x_1 = 2 + 5 = 7 \)

\( x_2 = -7 + 5 = -2 \)

结果:两个数为 (7, 2) 或 (-2, -7)。

例子 2:已知两个数的差为 4,立方差为 316,求这两个数。

解答:

1. 计算 \( xy \):

\( xy = \frac{316 - 4^3}{3 \cdot 4} = 21 \)

2. 代入二次方程:

\( y^2 + 4y - 21 = 0 \)

3. 计算判别式:

\( \sqrt{4^2 + 4 \cdot 21} = \sqrt{16 + 84} = \sqrt{100} = 10 \)

4. 求 \( y \):

\( y_1 = \frac{-4 + 10}{2} = 3 \)

\( y_2 = \frac{-4 - 10}{2} = -7 \)

5. 计算 \( x \):

\( x_1 = 3 + 4 = 7 \)

\( x_2 = -7 + 4 = -3 \)

结果:两个数为 (7, 3) 或 (-3, -7)。

例子 3:若两个数的差值为 3,它们的立方差为 999,那这两个数是多少?

解答:

1. 计算 \( xy \):

\( xy = \frac{999 - 3^3}{3 \cdot 3} = 108 \)

2. 代入二次方程:

\( y^2 + 3y - 108 = 0 \)

3. 计算判别式:

\( \sqrt{3^2 + 4 \cdot 108} = \sqrt{9 + 432} = \sqrt{441} = 21 \)

4. 求 \( y \):

\( y_1 = \frac{-3 + 21}{2} = 9 \)

\( y_2 = \frac{-3 - 21}{2} = -12 \)

5. 计算 \( x \):

\( x_1 = 9 + 3 = 12 \)

\( x_2 = -12 + 3 = -9 \)

结果:两个数为 (12, 9) 或 (-9, -12)。