等比序列计算器

输入第一项值、公比和第N项,计算第N项的值和等比序列的总和。

计算等比序列的第N项值与总和

第N项值

总和

什么是等比序列?

等比序列是一种数列,其中任意两项之间的比值是固定的,称为公比。

如何计算等比序列的第N项值?

等比序列的第N项可以用公式表示为:

\( a_n = a_1 \cdot r^{(n - 1)} \)

其中:

  • \( a_n \) 是第N项的值
  • \( a_1 \) 是第一项的值
  • \( r \) 是公比
  • \( n \) 是项数

如何计算等比序列的前N项和?

等比序列的总和可以通过以下公式计算(当公比 \( r \neq 1 \) 时):

\( S_n = \frac{a_1 \cdot (1 - r^n)}{1 - r} \)

当公比为1时,总和为:

\( S_n = n \cdot a_1 \)

示例

例子 1:已知等比序列的首项为3,公比为2,计算第5项及总和。

解答:

计算第5项:

\( a_5 = 3 \cdot 2^{(5 - 1)} = 3 \cdot 16 = 48 \)

计算总和:

\( S_5 = \frac{3 \cdot (1 - 2^5)}{1 - 2} = \frac{3 \cdot (1 - 32)}{-1} = \frac{3 \cdot (-31)}{-1} = 93 \)

例子 2:已知等比序列的首项为10,公比为5,计算第6项及总和。

解答:

计算第6项:

\( a_6 = 10 \cdot 5^{(6 - 1)} = 10 \cdot 3125 = 31250 \)

计算总和:

\( S_6 = \frac{10 \cdot (1 - 5^6)}{1 - 5} = \frac{10 \cdot (1 - 15625)}{-4} = \frac{10 \cdot (-15624)}{-4} = 39060 \)

例子 3:已知等比序列的首项为12,公比为-2,计算第8项及总和。

解答:

计算第8项:

\( a_8 = 12 \cdot (-2)^{(8 - 1)} = 12 \cdot (-128) = -1536 \)

计算总和:

\( S_8 = \frac{12 \cdot (1 - (-2)^8)}{1 - (-2)} = \frac{12 \cdot (1 - 256)}{3} = \frac{12 \cdot (-255)}{3} = -1020 \)