什么是欧拉函数？
欧拉函数（Euler's Totient Function），通常用符号 \( \phi(n) \) 表示，是一个重要的数论函数，用于计算小于或等于 \( n \) 的正整数中，与 \( n \) 互质的数的数量。
如何计算欧拉函数值？
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首先，对输入的数字 \( n \) 进行质因数分解，表示为：
\( n = p_1^{k_1} \times p_2^{k_2} \times \ldots \times p_m^{k_m} \)
其中 \( p_1, p_2, \ldots, p_m \) 是 \( n \) 的不同质因数。
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使用欧拉函数的公式计算，公式为：
\( \phi(n) = n \left(1 - \frac{1}{p_1}\right)\left(1 - \frac{1}{p_2}\right) \ldots \left(1 - \frac{1}{p_m}\right) \)
示例
例子 1：计算 \( \phi(12) \)
解答：
质因数分解：\( 12 = 2^2 \times 3^1 \)
应用公式：
\( \phi(12) = 12 \left(1 - \frac{1}{2}\right)\left(1 - \frac{1}{3}\right) = 12 \times \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} = 4 \)
结果：\( \phi(12) = 4 \)
例子 2：计算 \( \phi(30) \)
解答：
质因数分解：\( 30 = 2^1 \times 3^1 \times 5^1 \)
应用公式：
\( \phi(30) = 30 \left(1 - \frac{1}{2}\right)\left(1 - \frac{1}{3}\right)\left(1 - \frac{1}{5}\right) = 30 \times \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} \times \frac{4}{5} = 8 \)
结果：\( \phi(30) = 8 \)
例子 3：计算 \( \phi(360) \)
解答：
质因数分解：\( 360 = 2^3 \times 3^2 \times 5^1 \)
应用公式：
\( \phi(360) = 360 \left(1 - \frac{1}{2}\right)\left(1 - \frac{1}{3}\right)\left(1 - \frac{1}{5}\right) = 360 \times \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} \times \frac{4}{5} = 96 \)
结果：\( \phi(360) = 96 \)
前 100 个欧拉函数值
- φ(1) = 1
- φ(2) = 1
- φ(3) = 2
- φ(4) = 2
- φ(5) = 4
- φ(6) = 2
- φ(7) = 6
- φ(8) = 4
- φ(9) = 6
- φ(10) = 4
- φ(11) = 10
- φ(12) = 4
- φ(13) = 12
- φ(14) = 6
- φ(15) = 8
- φ(16) = 8
- φ(17) = 16
- φ(18) = 6
- φ(19) = 18
- φ(20) = 8
- φ(21) = 12
- φ(22) = 10
- φ(23) = 22
- φ(24) = 8
- φ(25) = 20
- φ(26) = 12
- φ(27) = 18
- φ(28) = 12
- φ(29) = 28
- φ(30) = 8
- φ(31) = 30
- φ(32) = 16
- φ(33) = 20
- φ(34) = 16
- φ(35) = 24
- φ(36) = 12
- φ(37) = 36
- φ(38) = 18
- φ(39) = 24
- φ(40) = 16
- φ(41) = 40
- φ(42) = 12
- φ(43) = 42
- φ(44) = 20
- φ(45) = 24
- φ(46) = 22
- φ(47) = 46
- φ(48) = 16
- φ(49) = 42
- φ(50) = 20
- φ(51) = 32
- φ(52) = 24
- φ(53) = 52
- φ(54) = 18
- φ(55) = 40
- φ(56) = 24
- φ(57) = 36
- φ(58) = 28
- φ(59) = 58
- φ(60) = 16
- φ(61) = 60
- φ(62) = 30
- φ(63) = 36
- φ(64) = 32
- φ(65) = 48
- φ(66) = 20
- φ(67) = 66
- φ(68) = 32
- φ(69) = 44
- φ(70) = 24
- φ(71) = 70
- φ(72) = 24
- φ(73) = 72
- φ(74) = 36
- φ(75) = 40
- φ(76) = 36
- φ(77) = 60
- φ(78) = 24
- φ(79) = 78
- φ(80) = 32
- φ(81) = 54
- φ(82) = 40
- φ(83) = 82
- φ(84) = 24
- φ(85) = 64
- φ(86) = 42
- φ(87) = 56
- φ(88) = 40
- φ(89) = 88
- φ(90) = 24
- φ(91) = 72
- φ(92) = 44
- φ(93) = 60
- φ(94) = 46
- φ(95) = 72
- φ(96) = 32
- φ(97) = 96
- φ(98) = 42
- φ(99) = 60
- φ(100) = 40