余切计算器

余切定义和公式

余切函数（Cotangent function）是三角函数中的一种，通常用符号 \(\cot(\theta)\) 表示，其中 \(\theta\) 是角度，通常以弧度为单位。

在直角三角形中，余切函数定义为角度 \(\theta\) 的 邻边与 对边 之比： \( \cot(\theta) = \frac{\text{邻边}}{\text{对边}} = \frac{b}{a} \) 即余切函数表示一个角度的水平与垂直分量之比。

在单位圆中，余切函数定义为单位圆上对应角度 \(\theta\) 的点的横坐标与纵坐标的比值： \( \cot(\theta) = \frac{x}{y} \) 其中，\(x\) 和 \(y\) 是单位圆上与角度 \(\theta\) 对应点的横纵坐标。

示例

例子 1：通过直角三角形计算余切值

假设有一个直角三角形，其中一个锐角 \(\theta = 45^\circ\)，对边的长度为 6，邻边的长度为 6，求于余切值。

例子 2：实际应用中的余切值计算

假设你正在观察一座 50 米高的灯塔，并且你与灯塔的水平距离为 80 米，要求你与灯塔之间的角度 \(\theta\)。

余切图形和属性

余切函数的图形呈现出周期性的波动，并且在每个周期中有竖直渐近线。余切图形具有以下特性：

• 周期性：余切函数的周期为 \(\pi\)（即 180°），即每 \(\pi\) 弧度图形重复一次。
• 单调性：余切函数在每个周期内是单调递减的。
• 偶函数：余切函数是偶函数，即 \(\cot(-\theta) = \cot(\theta)\)，这意味着余切函数关于 \(y\)-轴对称。
• 振幅：余切函数的振幅是无限的，余切值可以从负无穷大增长到正无穷大。
• 渐近线：在 \(\theta = n\pi\) 处（其中 \(n\) 是整数），余切函数有竖直渐近线，即函数值趋向于无穷大或负无穷大。
• 定义域和值域：余切函数的定义域是所有角度 \(\theta\)（除了 \(n\pi\)），值域为 \(\mathbb{R}\)（所有实数）。

余切函数的象限特性

余切函数在不同象限中的符号和性质如下表所示：

• 在第一象限，余切值为正，且随着角度的增加从无穷大递减到 0。
• 在第二象限，余切值为负，且随着角度的增加从 0 递减到负无穷大。
• 在第三象限，余切值为正，且随着角度的增加从无穷大递减到 0。
• 在第四象限，余切值为负，且随着角度的增加从 0 递减到负无穷大。

余切的其它计算

1. 余切的倒数（正切函数）

余切函数的倒数是正切函数（tangent，记作 \(\tan(\theta)\)），定义为： \( \frac{1}{\cot(\theta)} = \tan(\theta) = \frac{\text{对边}}{\text{邻边}} \) 当 \(\cot(\theta) = 0\) 时，正切函数无定义。

2. 余切的导数

余切函数的导数是负的正割函数的平方，即： \( \frac{d}{d\theta} \cot(\theta) = -\sec^2(\theta) \) 这一性质在微积分中非常重要，尤其是在解析函数变化率时。

3. 余切的积分

余切函数的积分是对数函数： \( \int \cot(\theta) \, d\theta = \ln|\sin(\theta)| + C \)

4. 反余切函数（arccot）

反余切函数（arccotangent，记作 \(\text{arccot}(x)\)）用于求解给定余切值对应的角度。反余切函数的定义域为所有实数，值域为 \((0, \pi)\)，即： \( \theta = \text{arccot}(x) \) 其中 \(x\) 为余切值。

余切常用值表