余割计算器

什么是余割

余割函数（Cosecant function）通常用符号 \(\csc(\theta)\) 表示，其中 \(\theta\) 是角度，通常以弧度为单位。

在直角三角形中，余割函数定义为角度 \(\theta\) 的 斜边与 对边 之比： \( \csc(\theta) = \frac{\text{斜边}}{\text{对边}} = \frac{c}{a} \) 即余割函数表示一个角度的斜边与对边的比值。

在单位圆中，余割函数定义为单位圆上对应角度 \(\theta\) 的点的斜边与纵坐标的比值： \( \csc(\theta) = \frac{1}{\sin(\theta)} \) 即余割函数是正弦函数的倒数。

示例

例子 1：通过直角三角形计算余割值

假设有一个直角三角形，其中一个锐角 \(\theta = 30^\circ\)，对边的长度为 5，斜边的长度为 10，求对应的余割值。

示例 2：实际应用中的余割值计算

假设你在计算一个山坡的坡度，该坡度的角度为 \(\theta = 60^\circ\)，要求计算对应的余割值。

余割图形和性质

余割函数的图形是周期性波动的，并且在每个周期内有垂直渐近线。余割图形具有以下特性：

• 周期性：余割函数的周期为 \(2\pi\)（即 360°），即每 \(2\pi\) 弧度图形重复一次。
• 奇函数：余割函数是奇函数，即 \(\csc(-\theta) = -\csc(\theta)\)，这意味着余割函数关于原点对称。
• 振幅：余割函数的振幅是无限的，余割值可以从负无穷大增长到正无穷大。
• 渐近线：在 \(\theta = n\pi\) 处（其中 \(n\) 是整数），余割函数有垂直渐近线，即函数值趋向于无穷大或负无穷大。
• 定义域和值域：余割函数的定义域为所有角度 \(\theta\)（除了 \(n\pi\)，其中 \(n\) 是整数），值域为 \((-\infty, -1] \cup [1, \infty)\)。

余割函数的象限特性

余割函数在不同象限中的符号和性质如下表所示：

• 在第一象限，余割值为正，且随着角度的增加从无穷大递减到 1。
• 在第二象限，余割值为正，且随着角度的增加从1 增加到无穷大。
• 在第三象限，余割值为负，且随着角度的增加从负无穷大增加到 -1。
• 在第四象限，余割值为负，且随着角度的增加从 -1 递减到负无穷大。

余割函数的其它计算

1. 余割的倒数（正弦函数）

余割函数的倒数是正弦函数（sine，记作 \(\sin(\theta)\)），定义为： \( \frac{1}{\csc(\theta)} = \sin(\theta) \) 当 \(\csc(\theta) = 0\) 时，正弦函数无定义。

2. 余割的导数

余割函数的导数是余割函数和余切函数的乘积，即： \( \frac{d}{d\theta} \csc(\theta) = -\csc(\theta) \cot(\theta) \)

3. 余割的积分

余割函数的积分是： \( \int \csc(\theta) \, d\theta = -\ln|\csc(\theta) + \cot(\theta)| + C \)

4. 反余割函数（arccsc）

反余割函数（arccosecant，记作 \(\text{arccsc}(x)\)）用于求解给定余割值对应的角度，即： \( \theta = \text{arccsc}(x) \) 其中 \(x\) 为余割值。

余割函数常用值表